Problema ghiulelelor

În matematica numerelor figurative problema ghiulelor tratează numerele care sunt atât pătratice, cât și piramidale pătratice. Problema poate fi formulată astfel: având în vedere un aranjament pătrat de ghiulele, pentru care pătrate aceste ghiulele pot fi aranjate într-o piramidă pătrată. Echivalent, care pătrate sunt și suma pătratelor consecutive, începând de la 1.

Formularea ca ecuație diofantică

Când ghiulele sunt stivuite într-un cadru pătrat, numărul lor este un număr piramidal pătratic. Thomas Harriot a dat o formulă pentru acest număr în jurul anului 1587, răspunzând la o întrebare adresată de Sir Walter Raleigh în expediția lor în America.^[1] Édouard Lucas a formulat problema ghiulelelor prin ecuația diofantică

\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}

sau

{\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)={\frac {2N^{3}+3N^{2}+N}{6}}=M^{2}.

4900 de ghiulele pot fi aranjate fie ca un pătrat cu latura de 70, fie ca o piramidă pătrată cu latura de 24

Lucas a emis conjectura că singurele soluții ale acestei ecuații sunt N = 1, M = 1 și N = 24, M = 70, care corespund la 1, respectiv 4900 de ghiulele. În 1918 G. N. Watson a demonstrat conjectura folosind funcții eliptice. Ulterior au fost publicate și demonstrații elementare.^[2]^[3]

Aplicații

Soluția N = 24, M = 70 poate fi folosită pentru generarea unei latice Leech. Rezultatul are importanță în teoria coardelor bosonice în 26 de dimensiuni.^[4]

Deși este posibilă acoperirea unui pătrat cu pătrate inegale, asta nu se poate realiza cu soluția problemei ghiulelelor. Suma ariilor pătratelor cu laturile de la 1 la 24 este egală cu aria pătratului cu latura de 70, dar ele nu pot fi aranjate pentru a-l pava.

Probleme asemănătoare

Singurele numere care sunt simultan triunghiulare și piramidale pătrate sunt 1, 55, 91 și 208335.^[5]^[6]

În afară de soluția banală 1, nu există numere care să fie simultan tetraedrice și piramidale pătratice.^[6]

Note

^ en David Darling. „Cannonball Problem”. The Internet Encyclopedia of Science.
^ en Ma, D. G. (1985). „An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$ ”. Sichuan Daxue Xuebao. 4: 107–116.
^ en Anglin, W. S. (1990). „The Square Pyramid Puzzle”. American Mathematical Monthly. 97 (2): 120–124. doi:10.2307/2323911. JSTOR 2323911.
^ en „week95”. Math.ucr.edu. 26 noiembrie 1996. Accesat în 4 ianuarie 2012.
^ Șirul A039596 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ ^a ^b en Eric W. Weisstein, Square Pyramidal Number la MathWorld.

Legături externe

Portal Matematică

en Eric W. Weisstein, Cannonball Problem la MathWorld.

[1] David Darling. „Cannonball Problem”. The Internet Encyclopedia of Science.

[2] Ma, D. G. (1985). „An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$ ”. Sichuan Daxue Xuebao. 4: 107–116.

[3] Anglin, W. S. (1990). „The Square Pyramid Puzzle”. American Mathematical Monthly. 97 (2): 120–124. doi:10.2307/2323911. JSTOR 2323911.

[4] „week95”. Math.ucr.edu. 26 noiembrie 1996. Accesat în 4 ianuarie 2012.

[5] Șirul A039596 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

[Weisstein-6] Eric W. Weisstein, Square Pyramidal Number la MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]