Un spațiu vectorial normat , numit pe scurt spațiu normat , este un spațiu vectorial real sau complex
X
{\displaystyle X}
‖
⋅
‖
:
X
→
[
0
,
∞
)
,
{\displaystyle \|\cdot \|:X\to [0,\infty ),}
normă , având următoarele proprietăți:
este pozitiv definită:
‖
x
‖
=
0
{\displaystyle \|x\|=0}
dacă și numai dacă
x
=
0
,
{\displaystyle x=0,}
‖
α
x
‖
=
|
α
|
‖
x
‖
{\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
α
∈
C
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }
‖
x
+
y
‖
≤
‖
x
‖
+
‖
y
‖
{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}
∀
x
,
y
∈
X
{\displaystyle \forall x,y\in X}
Norma definește o distanță
d
(
x
,
y
)
=
‖
x
−
y
‖
.
{\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|.}
spațiu metric .
Un spațiu normat în care orice șir Cauchy este convergent se numește spațiu Banach .
a) Următoarele aplicații sunt norme pe
R
:
{\displaystyle \mathbb {R} :}
‖
x
‖
=
∑
k
=
1
n
x
k
2
,
∀
x
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
∈
R
n
.
{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}},\;\forall x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}
‖
x
‖
=
∑
k
=
1
n
|
x
k
|
,
∀
x
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
∈
R
n
.
{\displaystyle \|x\|=\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|,\;\forall x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}
‖
x
‖
=
sup
|
x
k
|
,
k
=
1
,
n
¯
,
∀
x
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
∈
R
n
.
{\displaystyle \|x\|=\sup |x_{k}|,\;k={\overline {1,n}},\;\forall x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}
b) Fie
M
=
{
A
=
[
a
+
b
i
c
+
d
i
−
c
+
d
i
a
−
b
i
]
,
c
u
a
,
b
,
c
∈
R
,
i
2
=
−
1
}
{\displaystyle {\mathcal {M}}=\{A={\begin{bmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}},\;cu\;a,b,c\in \mathbb {R} ,\;i^{2}=-1\}}
f
:
M
→
R
+
,
f
(
A
)
=
det
A
{\displaystyle f:{\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} _{+},\;f(A)={\sqrt {\det A}}}
Atunci
(
M
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle ({\mathcal {M}},\|\cdot \|)}
‖
A
‖
=
f
(
A
)
.
{\displaystyle \|A\|=f(A).}
