Problema Thomson

Obiectivul problemei Thomson este de a determina configurația de energie potențială electrostatică minimă pentru N electroni distribuiți pe suprafața unei sfere unitare, care se resping reciproc conform legii lui Coulomb. Această configurație corespunde stării de echilibru stabil pentru electroni, în care energia totală a sistemului este minimă. Fizicianul J. J. Thomson a formulat această problemă în 1904, în cadrul încercării sale de a explica structura atomilor, propunând un model atomic cunoscut ulterior sub numele de modelul „budinca cu stafide”. Acest model s-a bazat pe descoperirea electronilor cu sarcină negativă în interiorul atomilor, care în ansamblu sunt electric neutri.

Probleme conexe includ studiul geometriei configurației de energie minimă, analiza distribuției electronilor în funcție de N, precum și investigarea comportamentului limită al energiei pentru valori mari ale lui N, aspecte care au implicații importante în fizica teoretică, chimie și matematică. Aceste studii sunt relevante, de asemenea, pentru înțelegerea interacțiunilor la scară nanometrică și a distribuțiilor optime ale sarcinilor în alte contexte fizice.

Enunț matematic

Energia de interacțiune electrostatică dintre fiecare pereche de electroni cu sarcini egale ($e_{i}=e_{j}=e$, unde $e$ reprezintă sarcina elementară a electronului) este exprimată conform legii lui Coulomb:

$U_{ij}(N)={e_{i}e_{j} \over 4\pi \epsilon _{0}r_{ij}},$

unde $\epsilon _{0}$​ este permitivitatea electrică a vidului (cunoscută și ca constanta electrică), iar $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ este distanța dintre doi electroni situați în punctele definite de vectorii poziție $\mathbf {r} _{i}$ și $\mathbf {r} _{j}$​ pe suprafața sferei unitare.

În unități simplificate, unde $e=1$ și $k_{e}=1/4\pi \epsilon _{0}=1$ (constanta lui Coulomb), expresia devine:

$U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.$

Energia potențială electrostatică totală asociată unei configurații de N electroni poate fi exprimată ca suma energiilor de interacțiune pentru toate perechile de puncte distincte:

$U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.$

Minimizarea globală a lui $U(N)$ peste toate configurațiile posibile de $N$ puncte distincte de pe sferă este realizată, de regulă, prin metode numerice de optimizare, datorită complexității problemei pentru valori mari ale lui $N$.

Problema Thomson este strâns legată de cea de-a șaptea dintre cele 18 probleme nesoluționate propuse de matematicianul Steve Smale — „Distribuția punctelor pe 2-sferă”. Diferențele principale includ:

1. În problema lui Smale, funcția care trebuie minimizată nu este potențialul electrostatic $1 \over r_{ij}$, ci un potențial logaritmic definit de $-\log r_{ij}$, ceea ce schimbă natura interacțiunilor.
2. Smale investighează comportamentul asimptotic al energiei totale $U(N)$ atunci când $N$ tinde la infinit, în timp ce problema Thomson abordează valori finite ale lui $N$.

Aceste probleme au implicații importante în domenii precum fizica teoretică, teoria optimizării, geometria diferențială și teoria potențialului, fiind relevante inclusiv pentru înțelegerea distribuțiilor optime de sarcină în contexte fizice și aplicative diverse.

Exemplu

Soluția problemei Thomson pentru doi electroni este obținută atunci când ambii electroni sunt plasați la cea mai mare distanță posibilă unul față de celălalt, pe părțile opuse ale originii, adică atunci când $r_{ij}=2r=2$, unde $r$ este raza sferei unitare. În această configurație, energia potențială electrostatică este:

$U(2)={1 \over 2}.$

Lectură suplimentară

• Whyte, L.L. (1952). „Unique arrangements of points on a sphere”. Amer. Math. Monthly. 59 (9): 606–611. doi:10.2307/2306764. JSTOR 2306764. 
• Cohn, Harvey (1956). „Stability configurations of electrons on a sphere”. Math. Comput. 10 (55): 117–120. doi:10.1090/S0025-5718-1956-0081133-0. 
• Goldberg, Michael (1969). „Stability configurations of electrons on a sphere”. Math. Comp. 23 (108): 785–786. doi:10.1090/S0025-5718-69-99642-2. 
• Erber, T.; Hockney, G. M. (1991). „equilibrium configurations of N equal charges on a sphere”. J. Phys. A: Math. Gen. 24 (23): L1369. Bibcode:1991JPhA...24L1369E. doi:10.1088/0305-4470/24/23/008. 
• Morris, J. R.; Deaven, D. M.; Ho, K. M. (1996). „Genetic-algorithm energy minimization for point charges on a sphere”. Phys. Rev. B. 53 (4): R1740–R1743. Bibcode:1996PhRvB..53.1740M. doi:10.1103/PhysRevB.53.R1740. PMID 9983695. 
• Erber, T.; Hockney, G. M. (1997). „Complex Systems: Equilibrium Configurations of $N$ Equal Charges on a Sphere $(2\leq N\leq 112)$”. Advances in Chemical Physics. 98. pp. 495–594. doi:10.1002/9780470141571.ch5. ISBN 9780470141571. .
• Altschuler, E. L.; Williams, T. J.; Ratner, E. R.; Tipton, R.; Stong, R.; Dowla, F.; Wooten, F. (1997). „Possible global minimum lattice configurations for Thomson's problem of charges on a sphere”. Phys. Rev. Lett. 78 (14): 2681–2685. Bibcode:1997PhRvL..78.2681A. doi:10.1103/PhysRevLett.78.2681. 
• Bowick, M.; Cacciuto, A.; Nelson, D. R.; Travesset, A. (2002). „Crystalline order on a sphere and the generalized Thomson Problem”. Phys. Rev. Lett. 89 (18): 249902. Bibcode:2002PhRvL..89r5502B. doi:10.1103/PhysRevLett.89.185502. PMID 12398614. 
• Dragnev, P. D.; Legg, D. A.; Townsend, D. W. (2002). „Discrete logarithmic energy on the sphere”. Pacific J. Math. 207 (2): 345–358. doi:10.2140/pjm.2002.207.345. .
• Katanforoush, A.; Shahshahani, M. (2003). „Distributing points on the sphere. I”. Exper. Math. 12 (2): 199–209. doi:10.1080/10586458.2003.10504492. 
• Wales, David J.; Ulker, Sidika (2006). „Structure and dynamics of spherical crystals characterized for the Thomson problem”. Phys. Rev. B. 74 (21): 212101. Bibcode:2006PhRvB..74u2101W. doi:10.1103/PhysRevB.74.212101.  Configurations reprinted in Wales, D. J.; Ulker, S. „The Cambridge cluster database”. 
• Slosar, A.; Podgornik, R. (2006). „On the connected-charges Thomson problem”. Europhys. Lett. 75 (4): 631. Bibcode:2006EL.....75..631S. doi:10.1209/epl/i2006-10146-1. 
• Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2007). „Universally optimal distribution of points on spheres”. J. Amer. Math. Soc. 20 (1): 99–148. Bibcode:2007JAMS...20...99C. doi:10.1090/S0894-0347-06-00546-7. 
• Wales, D. J.; McKay, H.; Altschuler, E. L. (2009). „Defect motifs for spherical topologies”. Phys. Rev. B. 79 (22): 224115. Bibcode:2009PhRvB..79v4115W. doi:10.1103/PhysRevB.79.224115. . Configurations reproduced in Wales, D. J.; Ulker, S. „The Cambridge cluster database”. 
• Ridgway, W. J. M.; Cheviakov, A. F. (2018). „An iterative procedure for finding locally and globally optimal arrangements of particles on the unit sphere”. Comput. Phys. Commun. 233: 84–109. Bibcode:2018CoPhC.233...84R. doi:10.1016/j.cpc.2018.03.029. 
• Cecka, Cris; Bowick, Mark J.; Middleton, Alan A. „Thomson Problem @ S.U”. Arhivat din original la 9 aprilie 2018. Accesat în 24 noiembrie 2009. 
• This webpage contains many more electron configurations with the lowest known energy: https://www.hars.us.