Prismă triunghiulară triaugmentată

Descriere
Prismă triunghiulară triaugmentată

(model 3D)
Tip	poliedru Johnson J₅₀ – J₅₁ – J₅₂
Fețe	14 triunghiuri echilaterale^[1]
Laturi (muchii)	21^[1]
Vârfuri	9^[1]
χ	2
Configurația vârfului	3 (3⁴); 6 (3⁵)
Grup de simetrie	D_3h, [3,2], (*223), ordin 12
Arie	≈ 6,062 a² (a = latura)
Volum	≈ 1,140 a³ (a = latura)
Poliedru dual	Asociaedru K₅
Proprietăți	convexă
Desfășurată

În geometrie prisma triunghiulară triaugmentată^[1] sau prisma triunghiulară tetrakis^[2] este un poliedru convex construit prin augmentarea unei prisme triunghiulare prin atașarea a trei piramide pătrate (J₁) pe cele trei fețe laterale ale sale. Este poliedrul Johnson J₅₁.^[1]^[3]^[4] Având 14 fețe, este un tetradecaedru. Deoarece toate fețele sale sunt triunghiuri, este un deltaedru.

Este înrudită cu prisma triunghiulară augmentată (J₄₉) și prisma triunghiulară biaugmentată (J₅₀)

Poliedrul dual al prismei triunghiulare triaugmentate este un asociaedru, un poliedru cu patru fețe patrulatere și șase pentagoane ale căror vârfuri formează cele 14 triunghiuri posibile într-un hexagon regulat. În același mod, cele nouă vârfuri ale prismei triunghiulare triaugmentate reprezintă cele nouă diagonale ale unui hexagon.

Construcție

Prisma triunghiulară triaugmentată poate fi construită prin atașarea piramidelor pătrate echilaterale pe fiecare dintre cele trei fețe pătrate ale unei prisme triunghiulare (augmentare).^[5] Aceste piramide acoperă fiecare pătrat, înlocuindu-l cu patru triunghiuri echilaterale, astfel încât poliedrul rezultat are ca fețe 14 triunghiuri echilaterale. Un poliedru cu fețele doar triunghiuri echilaterale este un deltaedru. Există doar opt deltaedre convexe diferite, dintre care unul este prisma triunghiulară triaugmentată.^[6] În general, poliedrele convexe în care toate fețele sunt poligoane regulate sunt poliedre Johnson, iar orice deltaedru convex este un poliedru Johnson.^[4]

Simetrie

Are aceeași simetrie tridimensională ca și prisma triunghiulară: grupul diedral $D 3h$ de ordinul 12.

Mărimi asociate

Pentru o prismă triunghiulară augmentată cu lungimea laturilor egală cu 2 coordonatele vârfurilor sunt date de:^[2]

(0,{\frac {2}{\sqrt {3}}},\pm 1),

(\pm 1,-{\frac {1}{\sqrt {3}}},\pm 1),

(0,-{\sqrt {2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}},0),

(\pm {\frac {1+{\sqrt {6}}}{2}},{\frac {1+{\sqrt {6}}}{2{\sqrt {3}}}},0).

În acest caz, axa de simetrie a poliedrului va coincide cu axa Oz.

Unghiurile diedre ale sale pot fi calculate prin adunarea unghiurilor piramidelor componente și ale prismei. Prisma în sine are unghiuri diedre între triunghiuri și pătrate de $\pi /2$ și unghiuri între pătrate de $\pi /3$ . Unghiurile dintre triunghiurile de pe piramide sunt aceleași ca la octaedrul regulat, iar unghiurile dintre triunghiuri și pătrate sunt jumătate din acestea. Prin urmare, pentru prisma triunghiulară triaugmentată, unghiurile diedre incidente la vârfurile de gradul patru, pe laturile triunghiurilor prismei și, respectiv, pe laturile dintre pătrate la pătrat sunt:^[3]

{\begin{aligned}\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 109,5^{\circ },\\{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2}}\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 144,7^{\circ },\\{\frac {\pi }{3}}+\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 169,5^{\circ }.\\\end{aligned}}

Următoarele formule pentru arie, $A$ și volum, $V$ sunt stabilite pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:^[1]^[7] Aria este aria celor 14 trunghiuri echilaterale:

{\frac {7{\sqrt {3}}}{2}}\,a^{2}\approx 6,062178~a^{2},

iar volumul este suma prismei triunghiulare centrale și a celor trei piramide pătrate:

{\frac {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{4}}\,a^{3}\approx 1,140119~a^{3}.

Asociaedrul dual

Dualul prismei triunghiulare triaugmentate

Poliedrul dual al prismei triunghiulare triaugmentate are câte o față pentru fiecare vârf al prismei triunghiulare triaugmentate și câte un vârf pentru fiecare față. Este un eneaedru (un poliedru cu nouă laturi)^[8] care poate fi realizat cu trei fețe pătrate neadiacente și încă șase fețe pentagonale neregulate congruente.^[9] Este cunoscut sub numele de asociaedrul de ordinul 5, un poliedru ale cărui vârfuri reprezintă cele 14 triangulări ale unui hexagon regulat.^[8]^[9] O formă mai puțin simetrică a acestui poliedru dual, obținută prin tăierea unui octaedru trunchiat în patru sferturi congruente de două plane care bisectează perpendicular două familii paralele ale laturilor sale, este un poliedru care umple spațiul.^[10]

Note

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f en Stephen Wolfram, "Triaugmented triangular prism" from Wolfram Alpha. Retrieved December 27, 2022.
^ ^a ^b en Sloane, N. J. A.; Hardin, R. H.; Duff, T. D. S.; Conway, J. H. (1995), „Minimal-energy clusters of hard spheres”, Discrete & Computational Geometry, 14 (3): 237–259, doi:10.1007/BF02570704, MR 1344734
^ ^a ^b en Johnson, Norman W. (1966), „Convex polyhedra with regular faces”, Canadian Journal of Mathematics, 18: 169–200, doi:10.4153/cjm-1966-021-8, MR 0185507, Zbl 0132.14603
^ ^a ^b en Francis, Darryl (august 2013), „Johnson solids & their acronyms”, Word Ways, 46 (3): 177
^ en Trigg, Charles W. (1978), „An infinite class of deltahedra”, Mathematics Magazine, 51 (1): 55–57, doi:10.1080/0025570X.1978.11976675, JSTOR 2689647, MR 1572246
^ en Cundy, H. Martyn (decembrie 1952), „Deltahedra”, The Mathematical Gazette, 36 (318): 263–266, doi:10.2307/3608204, JSTOR 3608204, MR 0051525
^ en Berman, Martin (1971), „Regular-faced convex polyhedra”, Journal of the Franklin Institute, 291: 329–352, doi:10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR 0290245 ; see Table IV, line 71, p. 338
^ ^a ^b en Fomin, Sergey; Reading, Nathan (2007), „Root systems and generalized associahedra”, În Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd, Geometric combinatorics, IAS/Park City Mathematics Series, 13, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 63–131, arXiv:math/0505518  , doi:10.1090/pcms/013/03, MR 2383126 ; see Definition 3.3, Figure 3.6, and related discussion
^ ^a ^b en Amir, Yifat; Séquin, Carlo H. (2018), „Modular toroids constructed from nonahedra”, În Torrence, Eve; Torrence, Bruce; Séquin, Carlo; Fenyvesi, Kristóf, Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture, Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, pp. 131–138, ISBN 978-1-938664-27-4
^ en Goldberg, Michael (1982), „On the space-filling enneahedra”, Geometriae Dedicata, 12 (3): 297–306, doi:10.1007/BF00147314, MR 0661535 ; see polyhedron 9-IV, p. 301

Legături externe

Portal Matematică

Materiale media legate de prismă triunghiulară triaugmentată la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Johnson solid la MathWorld.

[SW-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f en Stephen Wolfram, "Triaugmented triangular prism" from Wolfram Alpha. Retrieved December 27, 2022.

[shdc-2] Sloane, N. J. A.; Hardin, R. H.; Duff, T. D. S.; Conway, J. H. (1995), „Minimal-energy clusters of hard spheres”, Discrete & Computational Geometry, 14 (3): 237–259, doi:10.1007/BF02570704, MR 1344734

[johnson-3] Johnson, Norman W. (1966), „Convex polyhedra with regular faces”, Canadian Journal of Mathematics, 18: 169–200, doi:10.4153/cjm-1966-021-8, MR 0185507, Zbl 0132.14603

[francis-4] Francis, Darryl (august 2013), „Johnson solids & their acronyms”, Word Ways, 46 (3): 177

[trigg-5] Trigg, Charles W. (1978), „An infinite class of deltahedra”, Mathematics Magazine, 51 (1): 55–57, doi:10.1080/0025570X.1978.11976675, JSTOR 2689647, MR 1572246

[cundy-6] Cundy, H. Martyn (decembrie 1952), „Deltahedra”, The Mathematical Gazette, 36 (318): 263–266, doi:10.2307/3608204, JSTOR 3608204, MR 0051525

[berman-7] Berman, Martin (1971), „Regular-faced convex polyhedra”, Journal of the Franklin Institute, 291: 329–352, doi:10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR 0290245 ; see Table IV, line 71, p. 338

[fr07-8] Fomin, Sergey; Reading, Nathan (2007), „Root systems and generalized associahedra”, În Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd, Geometric combinatorics, IAS/Park City Mathematics Series, 13, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 63–131, arXiv:math/0505518  , doi:10.1090/pcms/013/03, MR 2383126 ; see Definition 3.3, Figure 3.6, and related discussion

[as18-9] Amir, Yifat; Séquin, Carlo H. (2018), „Modular toroids constructed from nonahedra”, În Torrence, Eve; Torrence, Bruce; Séquin, Carlo; Fenyvesi, Kristóf, Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture, Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, pp. 131–138, ISBN 978-1-938664-27-4

[goldberg-10] Goldberg, Michael (1982), „On the space-filling enneahedra”, Geometriae Dedicata, 12 (3): 297–306, doi:10.1007/BF00147314, MR 0661535 ; see polyhedron 9-IV, p. 301

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]