Plan osculator

În geometria diferențială, planul osculator al unei curbe strâmbe este limita planului care trece prin trei puncte vecine $(M,M',M'')$ pe curbă, când punctele $M',M''$ tind către M.

Triedrul Frenet-Serret al unei curbe strâmbe și planul osculator al acesteia

Fie o curbă spațială dată prin ecuația ei vectorială: $\Gamma :\;{\vec {r}}={\vec {r}}(t),\;\;M_{0}(t_{0})\!$ un punct regulat de pe curbă și $T_{M_{0}}(\Gamma )\!$ dreapta tangentă la curbă în punctul $M_{0}.\!$

Definiție. Un plan care conține dreapta tangentă c se numește plan tangent și se notează $\pi _{M_{0}}(\Gamma ).\!$

Fie un punct $M'(t_{0}+k)\!$ de pe $\Gamma ,\!$ vecin cu $M_{0},\!$ k fiind o creștere mică astfel ca $t_{0}+k\in I.\!$ Fie $D(M_{0},M'_{0})\!$ dreapta determinată de aceste puncte, secantă pentru curba $\Gamma .\!$

Observație. Dreapta obținută ca limită a pozițiilor secantelor $D(M_{0},M'_{0})\!$ când $M_{0}\to M'_{0}\!$ (adică $k\to 0\!$) este tangenta la $\Gamma \!$ în punctul $M_{0}.\!$

Definiție. Planul determinat de dreapta $T_{M_{0}}(\Gamma )\!$ și de un punct $M'_{0}\!$ de pe curba $\Gamma \!$ din vecinătatea lui $M_{0},\!$ se numește plan osculator al curbei $\Gamma \!$ în punctul $M_{0},\!$ și se notează $P_{M_{0}}^{o}(\Gamma ).\!$

Planul osculator este determinat de $M_{0},\!$ direcția tangentei ${\dot {\vec {r}}}(t_{0})\!$ și de direcția ${\overrightarrow {M_{0}M'_{0}}}={\vec {r}}(t_{0}+k)-{\vec {r}}(t_{0}).\!$

Se observă că vectorul ${\frac {1}{k}}[{\vec {r}}(t_{0}+k)-{\vec {r}}(t_{0})]\!$ este coliniar cu vectorul ${\overrightarrow {M_{0}M'_{0}}}.\!$

Fie $t_{k}\!$ un punct intermediar din intervalul $(t_{0},t_{0}+k).\!$ Conform ipotezei că ${\vec {r}}(t)\!$ este o funcție de clasă ${\mathcal {C}}^{2}\!$ pe intervalul real I, putem considera aproximarea de ordinul II a expresiei ${\vec {r}}(t_{0}+k):\!$

${\vec {r}}(t_{0}+k)={\vec {r}}(t_{0})+k\cdot {\dot {\vec {r}}}(t_{0})+{\frac {k^{2}}{2!}}\cdot {\ddot {\vec {r}}}(t_{k})\;\;t_{k}\in (t_{0},t_{0}+k)\!$

care se obține din formula Taylor cu restul Lagrange aplicată funcției vectoriale ${\vec {r}}.\!$

În plus, în baza continuității funcției ${\ddot {\vec {r}}},\!$ avem $\lim _{k\to 0}{\ddot {\vec {r}}}(t_{k})={\ddot {\vec {r}}}(t_{0}).\!$ Obținem astfel:

${\frac {{\vec {r}}(t_{0}+k)-{\vec {r}}(t_{0})}{k}}={\dot {\vec {r}}}(t_{0})+{\frac {k}{2!}}\cdot {\ddot {\vec {r}}}(t_{k}).\!$

Cum membrul drept al egalității de mai sus este un vector coliniar cu ${\overrightarrow {M_{0}M'_{0}}},\!$ rezultă că vectorul ${\ddot {\vec {r}}}(t_{k})\!$ aparține planului osculator, pentru orice k. Trecând la limită pentru $k\to 0,\!$ obținem că vectorul ${\ddot {\vec {r}}}(t_{0})\!$ aparține planului osculator.

Așadar, cunoaștem doi vectori directori ai planului osculator: ${\dot {\vec {r}}}(t_{0})\!$ și ${\ddot {\vec {r}}}(t_{0}).\!$ Ecuația vectorială a planului osculator este:

$P_{M_{0}}^{o}(\Gamma ):\;({\vec {R}}-{\vec {r}}(t_{0});{\dot {\vec {r}}}(t_{0});{\ddot {\vec {r}}}(t_{0}))=0\!$

iar ecuația carteziană a planului osculator este:

$P_{M_{0}}^{O}(\Gamma ):\;{\begin{vmatrix}X-x(t_{0})&Y-y(t_{0})&Z-z(t_{0})\\{\dot {x}}(t_{0})&{\dot {y}}(t_{0})&{\dot {z}}(t_{0})\\{\ddot {x}}(t_{0})&{\ddot {y}}(t_{0})&{\ddot {z}}(t_{0})\end{vmatrix}}=0\!$

Dacă curba $\Gamma \!$ este dată sub formă parametrică, atunci ecuația planului osculator poate fi scrisă sub forma:

$P_{M_{0}}^{O}(\Gamma ):{\begin{cases}X=x(t_{0})+\alpha {\dot {x}}(t_{0})+\beta {\ddot {x}}(t_{0})\\Y=y(t_{0})+\alpha {\dot {y}}(t_{0})+\beta {\ddot {y}}(t_{0})\\Z=z(t_{0})+\alpha {\dot {z}}(t_{0})+\beta {\ddot {z}}(t_{0})\end{cases}}\!$     $\alpha ,\beta \!$ - parametrii

sau

$P_{M_{0}}^{O}(\Gamma ):\;A[x-x(t_{0})]+B[y-y(t_{0})]+C[z-z(t_{0})]=0\!$

unde $A,B,C\!$ sunt complemenții algebrici ai matricei: ${\begin{bmatrix}{\dot {x}}(t_{0})&{\dot {y}}(t_{0})&{\dot {z}}(t_{0})\\{\ddot {x}}(t_{0})&{\ddot {y}}(t_{0})&{\ddot {z}}(t_{0})\end{bmatrix}}\!$

Observații

• Planul osculator al unei curbe plane este chiar planul curbei.
• Direcția normală a planului osculator $P_{M_{0}}^{O}(\Gamma )\!$ este vectorul:

${\begin{bmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\dot {x}}(t_{0})&{\dot {y}}(t_{0})&{\dot {z}}(t_{0})\\{\ddot {x}}(t_{0})&{\ddot {y}}(t_{0})&{\ddot {z}}(t_{0})\end{bmatrix}}=A{\vec {i}}+B{\vec {j}}+C{\vec {k}}.\!$

Dreapta normală pe planul osculator (adică dreapta de direcție ${\dot {\vec {(}}}t_{0})\times {\ddot {\vec {(}}}t_{0})\!$) în punctul $M_{0}\!$ se numește binormală, și se notează cu $B_{M_{0}}(\Gamma ).\!$