Factorial

În matematică factorialul unui număr întreg pozitiv $n$ , notat cu $n!$ , este egal cu produsul numerelor naturale mai mici sau egale cu $n$ . Este o funcție numerică discretă și o operație unară (cu un singur operand). Este întâlnit în combinatorică și în alte formule matematice cum ar fi coeficienții din binomul lui Newton sau formula lui Taylor.

Exemple:

5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\

0!=1\

(caz special stipulat prin definiție)

Factorialul unui număr oarecare $n$ indică numărul de permutări (numărul de posibilități de rearanjare) ale unei mulțimi finite având $n$ elemente.

Poate fi aproximat prin formula lui Stirling.

Definiție

Funcția factorial este definită de:

n!=\prod _{k=1}^{n}k\!

sau, recursiv, de:

n!={\begin{cases}1&{\text{, }}n=0,\\(n-1)!\times n&{\text{, }}n>0.\end{cases}}

Suma inverselor factorialelor numerelor de la 0 la n, când n tinde spre infinit, este egală cu constanta e:

\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{n!}}=\mathrm {e} =2,718\,281\,828\,459\ldots

Aceasta este o consecință a dezvoltării în serie Maclaurin a funcției exponențiale:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots

.

pentru cazul particular $x=1$ .^[2]

^ Șirul A000142 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS); valorile specificate în tabel ca notație științifică sunt rotunjite la precizia afișată
^ en Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (ed. Ninth printing), New York: Dover Publications, p. 70, ISBN 978-0486612720