Fie V un spațiu vectorial peste un corp comutativ K .
Se numește formă biliniară pe spațiul vectorial V o aplicație
g
:
V
×
V
→
K
{\displaystyle g:V\times V\rightarrow K}
liniară în ambele argumente, adică care satisface condițiile:
g
(
α
x
+
β
y
,
z
)
=
α
g
(
x
,
z
)
+
β
g
(
y
,
z
)
;
{\displaystyle g(\alpha x+\beta y,\;z)=\alpha g(x,z)+\beta g(y,z);}
g
(
x
,
α
y
+
β
z
)
=
α
g
(
x
,
y
)
+
β
g
(
x
,
z
)
;
{\displaystyle g(x,\;\alpha y+\beta z)=\alpha g(x,y)+\beta g(x,z);}
pentru orice
∀
x
,
y
,
z
∈
V
{\displaystyle \forall x,y,z\in V}
α
,
β
∈
K
.
{\displaystyle \alpha ,\beta \in K.}
Mulțimea formelor biliniare definite pe spațiul vectorial V , prevăzută cu operațiile de adunare și înmulțire a funcțiilor , formează un spațiu vectorial peste K numit spațiul dual .
Un exemplu important de aplicație biliniară este produsul scalar canonic pe
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
:
R
n
×
R
n
→
R
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
y
=
(
y
1
,
y
2
,
…
,
y
n
)
,
{\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}),}
⟨
x
,
y
⟩
=
x
1
y
2
+
x
2
y
2
+
⋯
+
x
n
y
n
.
{\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}y_{2}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}
Mai general, orice produs scalar este o formă biliniară: de fapt, un produs scalar abstract real este, prin definiție, orice formă biliniară simetrică pozitiv-definită nedegenerată (a se vedea mai jos ).
Fie
V
n
{\displaystyle V_{n}}
spațiu vectorial n -dimensional și
B
=
{
e
1
,
e
2
,
⋯
,
e
n
}
{\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}}
bază a lui
V
n
{\displaystyle V_{n}}
x și y doi vectori oarecare
x
=
∑
i
=
1
n
x
i
e
i
{\displaystyle \textstyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}
y
=
∑
i
=
1
n
y
i
e
i
.
{\displaystyle \textstyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}.}
g est dată de:
g
(
x
,
y
)
=
g
(
∑
i
=
1
n
x
i
e
i
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
g
(
e
i
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)=g{\Big (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\;y{\Big )}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g(e_{i},y)}
=
∑
i
=
1
n
x
i
g
(
e
i
,
∑
j
=
1
n
y
j
e
j
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
x
i
g
(
e
i
,
e
j
)
y
j
{\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g{\Big (}e_{i},\;\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}{\Big )}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}\,g(e_{i},e_{j})\,y_{j}}
=
∑
1
≤
i
,
j
≤
n
a
i
j
x
i
y
j
,
{\displaystyle =\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\,x_{i}\,y_{j},}
unde s-a notat:
a
i
j
=
g
(
e
i
,
e
j
)
.
{\displaystyle a_{ij}=g(e_{i},e_{j}).}
O formă biliniară
g
:
V
×
V
→
K
{\displaystyle g:V\times V\rightarrow K}
simetrică dacă
∀
x
,
y
∈
V
,
g
(
x
,
y
)
=
g
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \forall x,y\in V,\;g(x,y)=g(y,x).}
antisimetrică dacă
∀
x
,
y
∈
V
,
g
(
x
,
y
)
=
−
g
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \forall x,y\in V,\;g(x,y)=-g(y,x).}
definită dacă
g
(
x
,
x
)
=
0
⟹
x
=
0.
{\displaystyle g(x,x)=0\implies x=0.}
Dacă corpul comutativ K este complet ordonat — adică dacă există o relație de ordine totală
≤
{\displaystyle \leq }
K — atunci
g
{\displaystyle g}
pozitivă dacă
∀
x
∈
V
,
g
(
x
,
x
)
≥
0
{\displaystyle \forall x\in V,\;g(x,x)\geq 0}
