Extindere algebrică

În algebră abstractă, o extindere de corp L/K se numește algebrică dacă fiecare element din L este algebric peste K, adică dacă fiecare element din L este o rădăcină a unor polinom nenul cu coeficienți în K. Extinderile de corp care nu sunt algebrice, adică care conțin elemente transcendente se numesc transcendente.

De exemplu, extinderea de corp R/Q, care este corpul numerelor reale ca extindere a corpului numerelor raționale, este transcendent, deoarece corpul extinderilor C/R și Q(√2)/Q este algebric, unde C este corpul numerelor complexe.

Toate extinderile transcendente sunt de grad infinit. Acest lucru implică faptul că toate extinderile finite sunt algebrice. Inversa nu este adevărată: există extinderi infinite care sunt algebrice. De exemplu corpul numerelor algebrice este o extindere algebrică infinită a numerelor raționale.

Fie E o extindere a corpului K, iar a ∈ E. Dacă a este algebric peste K, atunci K(a), mulțimea tuturor polinoamelor în a cu coeficienți în K, este nu numai un inel, ci un corp: K(a) este o extindere algebrică a lui K care are un grad finit peste K. Inversa nu este adevărată. Q[π] și Q[e] sunt corpuri, dar π și e sunt transcendente peste Q.

Toate corpurile algebric închise F nu au extinderi algebrice proprii, adică nu au extinderi algebrice E cu F < E. Un exemplu este corpul numerelor complexe. Fiecare corp are o extindere algebrică care este închisă algebric (numită închidere algebrică), dar pentru a demonstra acest lucru în general este nevoie de o formă a axiomei alegerii.

O extindere L/K este algebrică dacă și numai dacă orice K-subalgebră a L este un corp.

Properietăți

Clasa extinderilor algebrice formează o clasă distinctă de extinderi de corp, extinderi care au următoarele trei proprietăți:

1. Dacă E este o extindere algebrică a lui F iar F este o extindere algebrică a lui K, atunci E este o extindere algebrică a lui K.
2. Dacă E și F sunt extinderi algebrice ale lui K într-un supracorp comun C, atunci produsul tensorial de corpuri^⁠(d) EF este o extindere algebrică a lui K.
3. Dacă E este o extindere algebrică a lui F iar E>K>F atunci E este o extindere algebrică a lui K.

Aceste rezultate pot fi generalizate folosind inducția transfinită:

4. Reuniunea oricărui lanț de extinderi algebrice peste un corp de bază este ea însăși o extindere algebrică peste același corp de bază.

Acest fapt, împreună cu lema lui Zorn (aplicate la o mulțime parțial ordonată corespunzătoare), stabilește existența închiderilor algebrice.

Generalizări

Teoria modelelor^⁠(d) generalizează noțiunea de extindere algebrică la teorii arbitrare: o încorporare a M în N se numește extindere algebrică dacă pentru fiecare x din N există o formulă^⁠(d) p cu parametri în M, astfel încât p(x) este adevărată iar mulțimea

$\left\{y\in N\mid p(y)\right\}$

este finită. Se pare că aplicarea acestei definiții la teoria corpurilor oferă definiția obișnuită a extinderii algebrice. Grupul Galois^⁠(d) al N peste M poate fi din nou definit ca grup de automorfisme, și reiese că majoritatea teoriei grupurilor Galois poate fi dezvoltată pentru cazul general.

Vezi și

• extindere normală

Bibliografie

• en Fraleigh, John B. (2014), A First Course in Abstract Algebra, Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7 
• en Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0 
• en Lang, Serge (1993), „V.1:Algebraic Extensions”, Algebra (ed. Third), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001 
• en Malik, D. B.; Mordeson, John N.; Sen, M. K. (1997), Fundamentals of Abstract Algebra, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0 
• en McCarthy, Paul J. (1991) [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768.12001 
• en Roman, Steven (1995), Field Theory, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081 
• en Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687