Prim Pierpont

număr prim de forma 2^u - 3^v + 1 pentru u, v > 0

Un număr prim Pierpont este un număr prim de forma unde u și v sunt numere întregi nenegative. Adică, primele Pierpont sunt numerele prime p pentru care sunt 3-netede. Ele sunt numite după matematicianul James Pierpont, care le-a introdus în studiul poligoanelor regulate care poate fi construite pe baza conicelor.

Prim Pierpont
Numit dupăJames Pierpont
Nr. de termeni cunoscuțimii
Nr. presupus de termeniinfinit
Subșir alNumere Pierpont
Formula
Primii termeni2, 3, 5, 7, 13, 17, 19
Cel mai mare termen cunoscut3·216 408 818 + 1
Index OEIS

Un prim Pierpont cu este de forma , prin urmare este un prim Fermat. Dacă v este pozitiv, atunci u trebuie să fie și el pozitiv (deoarece un număr de forma este par, deci neprim), prin urmare toate numerele prime Pierpont care nu sunt prime Fermat sunt de forma unde k este un întreg pozitiv.

Primele numere prime Pierpont sunt:[1]

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329, ...

Distribuție

modificare
 
Distribuția exponenților celor mai mici prime Pierpont

Empiric, numerele prime Pierpont nu par a fi deosebit de rare sau împrăștiate. Există 42 de prime Pierpont mai mici de 106, 65 mai mici de 109, 157 mai mici de 1020 și 795 mai mici de 10100. Există puține restricții la factorizările algebrice ale primelor Pierpont, deci nu există cerințe ca la primele Mersenne ca exponentul să fie prim. Astfel, este de așteptat ca printre numerele cu n cifre de forma corectă   partea dintre acestea care sunt prime să fie proporțională cu 1/n, o proporție similară cu proporția numerelor prime dintre toate numerele cu n cifre. Deoarece în acest interval există numere   de formă corectă, ar trebui să existe prime Pierpont  

Pe baza acestui raționament Andrew M. Gleason a conjecturat că există infinit de multe prime Pierpont și, mai exact, că ar trebui să existe aproximativ 9n prime Pierpont până la 10n.[2] Conform conjecturii Gleason există   prime Pierpont mai mici ca N, în contrast cu numărul mai mic conjecturat de prime Mersenne   în acest interval.

Testarea faptului că sunt prime

modificare

Când  , faptul că   sunt prime este dat de teorema Proth. Pe de altă parte, când   testarea că   sunt prime este posibilă prin descompunerea lui   într-un număr par înmulțit cu o putere mare a lui 3.[3]

Numere prime Pierpont găsite în cursul căutării factorilor numerelor Fermat

modificare

În urma căutării în curs la nivel mondial a factorilor numerelor Fermat s-au găsit numere prime Pierpont ca factori. Tabelul următor[4] conține valori ale lui m, k și n satfel încât

 

Partea stângă este un prim Pierpont atunci când k este o putere a lui 3; partea dreaptă este un număr Fermat.

m k n An Descoperitor
38 3 41 1903 Cullen, Cunningham și Western
63 9 67 1956 Robinson
207 3 209 1956 Robinson
452 27 455 1956 Robinson
9428 9 9431 1983 Keller
12185 81 12189 1993 Dubner
28281 81 28285 1996 Taura
157167 3 157169 1995 Young
213319 3 213321 1996 Young
303088 3 303093 1998 Young
382447 3 382449 1999 Cosgrave și Gallot
461076 9 461081 2003 Nohara, Jobling, Woltman și Gallot
495728 243 495732 2007 Keiser, Jobling, Penné și Fougeron
672005 27 672007 2005 Cooper, Jobling, Woltman și Gallot
2145351 3 2145353 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman și Gallot
2478782 3 2478785 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman și Gallot
2543548 9 2543551 2011 Brown, Reynolds, Penné și Fougeron

Pînă în 2020 cel mai mare număr prim Pierpont cunoscur era 3·216408818 + 1 (cu 4 939 547 cifre zecimale), descoperit în octombrie 2020.[5]

  1. ^ Șirul A005109 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  2. ^ en Gleason, Andrew M. (), „Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon”, American Mathematical Monthly, 95 (3): 185–194, doi:10.2307/2323624, MR 0935432 . Footnote 8, p. 191.
  3. ^ en Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (), „On the primality of  ”, Discrete Mathematics, 241 (1-3): 395–406, doi:10.1016/S0012-365X(01)00125-X , MR 1861431 
  4. ^ en Wilfrid Keller, Fermat factoring status.
  5. ^ en Caldwell, Chris, „The largest known primes”, The Prime Pages, accesat în  ; „The Prime Database: 3*2^16408818+1”, The Prime Pages, accesat în  

Vezi și

modificare