Cub snub

poliedru arhimedic
Cub snub
Cele două forme chirale, cw și ccw
(animații cw și ccw, și model 3D)
Descriere
TipPoliedru arhimedic
(poliedru uniform)
Fețe38 (8+24 triunghiuri, 6 pătrate)
Laturi (muchii)60
Vârfuri24
χ2
Configurația vârfului3.3.3.3.4
Simbol Wythoff| 2 3 4
Simbol Schläflisr{4,3} sau
ht0,1,2{4,3}
Simbol ConwaysC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieOh, 1/2B3, [4,3]+, (*432), ordin 24
Grup de rotațieO, [4,3]+, (432), ordin 24
Arie≈ 19,856 a2   (a = latura)
Volum≈   7,889 a3   (a = latura)
Unghi diedru3-3: 153° 14′ 04″ (153,23°)
3-4: 142° 59′ 00″ (142,98°)
Poliedru dualIcositetraedru pentagonal
ProprietățiPoliedru semiregulat, convex, chiral
Figura vârfului
Desfășurată

În geometrie cubul snub este un poliedru arhimedic. Are 38 de fețe, din care 8+24 triunghiulare și 6 pătrate, 24 de vârfuri și 60 de laturi.

Duale: Icositetraedre pentagonale, pe stânga și pe dreapta
O construcție geometrică a constantei tribonacci (AC), cu rigla și compasul, după metoda descrisă de Xerardo Neira

Este un poliedru chiral, adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe”) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dă compusul de două cuburi snub, iar anvelopa convexă al ambelor seturi de vârfuri este un cuboctaedru trunchiat.

Are indicele de poliedru uniform U12,[1] indicele Coxeter C24 și indicele Wenninger W17.

Johannes Kepler l-a denumit inițial în latină cubus simus în lucrarea sa Harmonices Mundi din 1619. H.S.M. Coxeter a remarcat că ar putea fi derivat în mod egal din octaedru, ca și cubul, numit „cuboctaedru snub”, cu simbolul Schläfli extins vertical , și reprezentând o alternare a unui cuboctaedru trunchiat, care are simbolul Schläfli .

Dimensiuni

modificare

Pentru un cub snub cu lungimea laturii 1, aria și volumul acestuia sunt:

 

unde t este constanta tribonacci

 

Dacă cubul snub inițial are lungimea laturii 1, dualul său, icositetraedrul pentagonal are lungimea laturii

  și  .

Volumul unui cub snub cu lungimea laturii   poate fi calculat cu relația:[2]

 ,

unde t este constanta tribonacci de mai sus.

Coordonate carteziene

modificare

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui cub snub centrat în origine sunt permutările pare ale

(±1, ±1/t, ±t)

cu un număr par de semne plus, împreună cu toate permutările impare cu un număr impar de semne plus, unde t ≈ 1,83929 este constanta tribonacci. Permutările pare cu un număr impar de semne plus și permutările impare cu un număr par de semne plus, dau un cub snub diferit, imaginea în oglindă a precedentului. Ambele împreună formează compusul de două cuburi snub.

Cu aceste coordonate lungimea laturilor cubului snub este  , un număr care este o soluție a ecuației

 

și care poate fi scrisă ca

 

Pentru a obține un cub snub cu lungimea laturii 1, se împart toate coordonatele de mai sus cu valoarea α de mai sus.

Proiecții ortogonale

modificare
 
Cubul snub nu are simetrie față de centru, ca urmare vârful din față nu corespunde unui vârf opus din spate

Cubul snub are două proiecții ortogonale particulare, centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pătrate, care corespund cu planele Coxeter A2 și B2 și una centrată pe mijlocul laturilor.

Proiecții ortogonale
Centrată
pe
Fața
triunghi
Fața
pătrat
Latură
Corp      
Cadru de sârmă      
Simetrie
proiectivă
[3] [4]+ [2]
Dual      
   
centrată pe pătrat
Proiecție ortogonală Proiecție stereografică

Pavare sferică

modificare

Cubul snub poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte (geodezicele) de pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Relații geometrice

modificare
Cub, rombicuboctaedru și cub snub
(animații cu expandări și răsuciri)
Alternări uniforme ale cuboctaedrului trunchiat

Cubul snub poate fi generat luând cele șase fețe ale cubului, deplasându-le spre exterior, apoi rotindu-le în jurul centrelor lor (toate în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers) până când spațiile dintre pot fi umplute cu triunghiuri echilaterale.

Cubul snub poate fi derivat și din cuboctaedrul trunchiat prin procesul de alternare. 24 de vârfuri ale cuboctaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu cubul snub, celelalte 24 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat este tranzitiv pe vârfuri dar nu este uniform.

Un cub snub „îmbunătățit”, cu o față pătrată puțin mai mică și fețe triunghiulare puțin mai mari în comparație cu cubul snub uniform (poliedrul arhimedic), este util la reprezentările pe sferă.[3]

Poliedre înrudite

modificare

Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme    
Simetrie: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
                                                     
     
=    
     
=    
     
=    
            =
    sau    
      =
    sau    
      =
   
     
 
 
 
 
 
 
 
           
 
Dualele celor de mai sus
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
                                                                 
                                         
                     


Variante de simetrii

modificare

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări snub cu configurațiile vârfului (3.3.3.3.n.) și diagrama Coxeter–Dynkin      . Aceste figuri și dualele lor au simetrie de rotație (n32) în notația orbifold, existând în planul euclidian pentru n = 6, iar în planul hiperbolic pentru orice n mai mare. Se poate considera că familia începe cu n = 2, care are fețele degenerate în digoane.

Variante de pavări snub cu simetrie n32: 3.3.3.3.n
Simetrie
n32
Sferice Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
Imagini
snub
               
Config. 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7 3.3.3.3.8 3.3.3.3.∞
Imagini
giro
               
Config. V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7 V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞

Cubul snub este al doilea din seria poliedrelor și pavărilor snub cu configurația vârfului 3.3.4.3.n.

Variante de pavări snub cu simetrie 4n2: 3.3.4.3.n
Simetrie
4n2
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
242 342 442 542 642 742 842 ∞42
Figuri
snub
               
Config. 3.3.4.3.2 3.3.4.3.3 3.3.4.3.4 3.3.4.3.5 3.3.4.3.6 3.3.4.3.7 3.3.4.3.8 3.3.4.3.∞
Figuri
giro
       
Config. V3.3.4.3.2 V3.3.4.3.3 V3.3.4.3.4 V3.3.4.3.5 V3.3.4.3.6 V3.3.4.3.7 V3.3.4.3.8 V3.3.4.3.∞
  1. ^ en Eric W. Weisstein, Uniform Polyhedron la MathWorld.
  2. ^ en „Snub Cube - Geometry Calculator”. rechneronline.de. Accesat în . 
  3. ^ en / „Spherical Designs” de R.H. Hardin și N.J.A. Sloane

Bibliografie

modificare
  • en Jayatilake, Udaya (martie 2005). „Calculations on face and vertex regular polyhedra”. Mathematical Gazette. 89 (514): 76–81. doi:10.1017/S0025557200176818. 
  • en Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., ISBN: 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • en Cromwell, P. (). Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. pp. 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare