Centrul cercului înscris într-un triunghi

În geometria triunghiului, centrul cercului înscris într-un triunghi este un punct important al triunghiului. Se află la intersecția bisectoarelor acestuia.

Centru cercului înscris într-un triunghi

Existența acestuia este remarcată încă din antichitate.

Exprimare vectorială printr-un vector poziție

Vectorul poziție al centrului I al cercului înscris în triunghiul ABC este dat de:

${\overrightarrow {PI}}={\frac {1}{a+b+c}}\cdot (a\cdot {\overrightarrow {PA}}+b\cdot {\overrightarrow {PB}}+c\cdot {\overrightarrow {PC}}),$

unde  $a=BC,\;b=CA,\;c=AB$  sunt lungimile laturilor triunghiului.

Demonstrație. Se notează  $A',B',C'$  picioarele bisectoarelor din vârfurile  $A,B,C.$  Conform teoremei bisectoarei:

${\frac {A'B}{A'C}}={\frac {c}{b}},\;{\frac {B'C}{B'A}}={\frac {a}{c}},\;{\frac {C'A}{C'B}}={\frac {b}{a}}.$

Rezultă că punctul  $A'$  împarte segmentul  ${\overline {BC}}$  în raportul  $-{\frac {c}{b}},$  deci:

${\overrightarrow {AA'}}={\frac {1}{1-\left(-{\frac {c}{b}}\right)}}\cdot \left({\overrightarrow {AB}}-\left(-{\frac {c}{b}}\right){\overrightarrow {AC}}\right)$ adică  ${\overrightarrow {AA'}}={\frac {b}{b+c}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {c}{b+c}}{\overrightarrow {AC}}.$ 

Din  ${\frac {A'B}{A'C}}={\frac {c}{b}}$  rezultă  ${\frac {A'B}{A'B+A'C}}={\frac {c}{b+c}}.$  Dar  $A'B+A'C=a,$  deci  $A'B={\frac {ac}{b+c}},\;A'C={\frac {ab}{b+c}}.$ 

 $[BI$  este bisectoare în triunghiul  $ABA',$  deci aplicând teorema bisectoarei:

${\frac {IA}{IA'}}={\frac {BA}{BA'}}=c\cdot {\frac {b+c}{ac}}={\frac {b+c}{a}}.$

Rezultă că punctul I împarte segmentul  ${\overline {AA'}}$  în raportul  $-{\frac {b+c}{a}}$  deci

${\overrightarrow {PI}}={\frac {1}{1-\left(-{\frac {b+c}{a}}\right)}}\cdot \left({\overrightarrow {PA}}-\left(-{\frac {b+c}{a}}\right)\cdot {\overrightarrow {PA'}}\right)$

$(1)$

Cum  ${\frac {A'B}{A'C}}={\frac {c}{b}},$  rezultă că  $A'$  împarte segmentul  ${\overrightarrow {BC}}$  în raportul  $-{\frac {c}{b}}$  deci:

${\overrightarrow {PA'}}={\frac {1}{1-\left(-{\frac {c}{b}}\right)}}\cdot \left({\overrightarrow {PB}}-\left(-{\frac {c}{b}}\right)\cdot {\overrightarrow {PC}}\right)$

adică:

${\overrightarrow {PA'}}={\frac {b}{b+c}}{\overrightarrow {PB}}+{\frac {c}{b+c}}{\overrightarrow {PC}}.$

$(2)$

Înlocuind (2) în (1), se obține formula din enunț.

Coordonatele carteziene

Coordonatele carteziene ale acestui punct sunt:

${\bigg (}{\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{a},y_{a})+b(x_{b},y_{b})+c(x_{c},y_{c})}{a+b+c}},$

unde  $(x_{a},y_{a})$, $(x_{b},y_{b})$  și  $(x_{c},y_{c})$  sunt coordonatele vârfului triunghiului.